关于四色定理的一个简单证明（要点）

     四色定理在曲面和平面等价，因此本文仅证明在平面情况下成立即可。

     步骤一  考察这样一种平面网络，它有n（n≧3）个节点，充分连接所有节点并且连线之间互不相交，姑且称其为“充分连接网络”，如图1，则其连线数m与节点数n之间有关系：

          m = 3(n – 2)   （n≧3）

        （证明过程略）

     步骤二  假定平面上有n（n≧3）个区域是两两相邻（两两具有公共边界）的，在这n（n≧3）个区域中的每个区域内各取一点P_i(i=1,2,…, n) , 充分地将每相邻的两个区域的P_i点用穿过其公共边界的连线连接起来，并做到本区域内的连线间互不相交，如图2。由于每条公共边界只有一条连线穿过，连线之间在公共边界上也不会相交，因此这样一个由P_i点及其连线构成的网络是充分连接网络，其连线数m满足关系：

        m = 3(n-2)   （n≧3）………………①

     又由于n（n≧3）个区域两两相邻，即是说每两个区域间都有一条连线，故连线数m还满足关系：

              m = n(n-1)/2   （n≧3）………………②

     解之，n₁ = 3，n₂ = 4。即：平面上最多只有4个区域是两两相邻的，用四色作图足矣，得证。

三、互补数与中心对称幻方的概念  

          在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对 互补数   （特别地，中心数 5 与它本身是一对互补数） 。 在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对 互补数 。 一般说来， 在 n 阶幻方中，某两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和，称它们为一对 互补数 。例如 11 阶幻方中最大的数是 121 ，该幻方中的 56 与 65 是一对互补数。

        在图 1 — 6B 这个四阶幻方中，我们用不同的字体或小圆点标记了 3 对数： 3 与 14 、 8 与 9 、 3 与 14 。我们说，这 3 对数在这个幻方中都是 成中心对称 的。在每一个四阶幻方（四阶方阵）中，都有 8 对成中心对称的数。   同样，在三阶幻方（三阶方阵）中，有四对数是成中心对称的 。 特别地， 奇数阶幻方的中心数（指中心方格的数）与它本身是中心对称的   。注意：偶数阶 幻方没有中心数。

     1     2     3     4       16    2       3.  13       16     3    2   13         16   3   13    2

     9   10   11   12          9     7      6    12         9     6    7   12          9    6   12    7

     5     6     7     8        5    11    10      8          5   10   11    8          4  15    1   14

   13   14   15   16        4   14.   15    1         4   15   14    1          5  10    8   11

     A   初始方阵         B   两对角线倒排    C   交换中间两列       D   再作变换

                              图 1 — 6   制作四阶幻方的又一组例子

           在图 1 — 6B 中，每一对成中心对称的数同时恰好都是互补

数，我们说图 1 — 6B 与图 1 — 6C 幻方都是中心对称的。

         一般说来，   如果一个幻方的每一对成中心对称的数都是一对互补数，   称这个幻方为 中心对称幻方 。 图 1 — 1 、图 1 — 2A 、图 1 — 2B 幻方也都是中心对称幻方。图 1 — 6D 则不是中心对称的幻方（这个幻方中的数 16 与 11 是中心对称的，而这一对数不是互补的。请注意，在幻方中，只要有一对成中心对称的数不是互补的，我们就可以判定该幻方不是中心对称幻方）。类似地，有 中心对称方阵 的概念，例如图 1 — 1A 这个三阶自然方阵与图 1 — 5A 这个四阶自然方阵都是 中心对称的方阵（一般说来，任何阶数的自然方阵都是中心对称的）。另外图 1 — 6A 也是一个中心对称四阶方阵。

        这里给出中心对称幻方的一个重要的结论 ： 在任何一个中心对称幻方中，每一对上下对称的两行上诸数之平方和总是相等的，每一对左右对称的两列也是这样   。 例如顺数第二行与倒数第二行是上下对称的两行是上下对称的两行。图 1 — 6B 幻方中，第二行诸数之平方和是 81+49+36+144 = 310 ，第三行诸数之平方和是 25+121+100+64 = 310 ，两者确实是相等的；该幻方第一行诸数之平方和与第四行诸数之平方和都是 438 。

又如在下页图 1 — 7E 这个五阶幻方中，每一对和为 26 的数（例如数 1 与 25 、数 2 与 24 、数 3 与 23 、数 11 与 15 的和都是 26 ）在该幻方中都是成中心对称的，这个幻方是中心对称的五阶幻方。它的第二行诸数之平方和为 144+64+16+625+256 = 1105 ，第四行诸数之平方和为 100+1+484+324+196 = 1105 ，两者也确实是相等的。它的第一行、第五行诸数之平方和都是 1155 ；它的第一列、第五列诸数之平方和都是 1055 。

        请注意，这里所介绍的中心对称幻方的一个重要性质，表明中心对称幻方是一种 比较规范、比较优美的幻方。本书把中心对称幻方作为一个研究的重点。

          在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对 互补数   （特别地，中心数 5 与它本身是一对互补数） 。 在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对 互补数 。 一般说来， 在 n 阶幻方中，某两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和，称它们为一对 互补数 。例如 11 阶幻方中最大的数是 121 ，该幻方中的 56 与 65 是一对互补数。

        在图 1 — 6B 这个四阶幻方中，我们用不同的字体或小圆点标记了 3 对数： 3 与 14 、 8 与 9 、 3 与 14 。我们说，这 3 对数在这个幻方中都是 成中心对称 的。在每一个四阶幻方（四阶方阵）中，都有 8 对成中心对称的数。   同样，在三阶幻方（三阶方阵）中，有四对数是成中心对称的 。 特别地， 奇数阶幻方的中心数（指中心方格的数）与它本身是中心对称的   。注意：偶数阶 幻方没有中心数。

     1     2     3     4       16    2       3.  13       16     3    2   13         16   3   13    2

     9   10   11   12          9     7      6    12         9     6    7   12          9    6   12    7

     5     6     7     8        5    11    10      8          5   10   11    8          4  15    1   14

   13   14   15   16        4   14.   15    1         4   15   14    1          5  10    8   11

     A   初始方阵         B   两对角线倒排    C   交换中间两列       D   再作变换

                              图 1 — 6   制作四阶幻方的又一组例子

           在图 1 — 6B 中，每一对成中心对称的数同时恰好都是互补

数，我们说图 1 — 6B 与图 1 — 6C 幻方都是中心对称的。

         一般说来，   如果一个幻方的每一对成中心对称的数都是一对互补数，   称这个幻方为 中心对称幻方 。 图 1 — 1 、图 1 — 2A 、图 1 — 2B 幻方也都是中心对称幻方。图 1 — 6D 则不是中心对称的幻方（这个幻方中的数 16 与 11 是中心对称的，而这一对数不是互补的。请注意，在幻方中，只要有一对成中心对称的数不是互补的，我们就可以判定该幻方不是中心对称幻方）。类似地，有 中心对称方阵 的概念，例如图 1 — 1A 这个三阶自然方阵与图 1 — 5A 这个四阶自然方阵都是 中心对称的方阵（一般说来，任何阶数的自然方阵都是中心对称的）。另外图 1 — 6A 也是一个中心对称四阶方阵。

        这里给出中心对称幻方的一个重要的结论 ： 在任何一个中心对称幻方中，每一对上下对称的两行上诸数之平方和总是相等的，每一对左右对称的两列也是这样   。 例如顺数第二行与倒数第二行是上下对称的两行是上下对称的两行。图 1 — 6B 幻方中，第二行诸数之平方和是 81+49+36+144 = 310 ，第三行诸数之平方和是 25+121+100+64 = 310 ，两者确实是相等的；该幻方第一行诸数之平方和与第四行诸数之平方和都是 438 。

又如在下页图 1 — 7E 这个五阶幻方中，每一对和为 26 的数（例如数 1 与 25 、数 2 与 24 、数 3 与 23 、数 11 与 15 的和都是 26 ）在该幻方中都是成中心对称的，这个幻方是中心对称的五阶幻方。它的第二行诸数之平方和为 144+64+16+625+256 = 1105 ，第四行诸数之平方和为 100+1+484+324+196 = 1105 ，两者也确实是相等的。它的第一行、第五行诸数之平方和都是 1155 ；它的第一列、第五列诸数之平方和都是 1055 。

        请注意，这里所介绍的中心对称幻方的一个重要性质，表明中心对称幻方是一种 比较规范、比较优美的幻方。本书把中心对称幻方作为一个研究的重点。

                       1     2     3             9     2     7             4     9     2      

                       4     5     6             4     5     6             3     5     7                    

                       7     8     9             3     8     1             8     1     6                    

                             A              B  对角对调       C   各数旋转

                             图 1 — 4   三阶幻方制作过程图        

         图 1 — 4A 称为 三阶 自然方阵 （它是将从数 1 起的九个连续自然数按从小到大的顺序依次填写而得到的）， 人们常常以自然方阵为 初始方阵 制作幻方。例如可以用“ 对角对调，各数旋转 ” 的方法制作三阶幻方，具体的说是：

       1 、将图 1 — 4A 的两组对角的数对调   （例如数 1 与 9 对调），得到图 1 — 4B 。 2 、将图 1 — 4B 的各个数顺时针方向旋转 45 度（中心数 5 也可以说是旋转了），就得到图 1 — 4C 所示的三阶幻方。  

           这里再介绍四阶幻方的一些制作方法。图 1 — 5A 是四阶自然方阵（它与三阶方阵的排列规律完全相同），将它的两条对角线上的各个数倒排，就得到图 1 — 5B 这个四阶幻方。如果将图 1 — 5B 的中间两列对调，又得到图 1 — 5C 这个四阶幻方。如果将图 1 — 5C 最后两列左右翻折得到一个新的四阶方阵（此过程图从略，请读者自己制作），再将新方阵最后两行上下翻折，所得到的图 1 — 5D 也是一个四阶幻方。这里我们以图 1 — 5A 为初始方阵，连续制作了三个四阶幻方。   制作这 3 个幻方的方法都是很简单的。

        从以上制作幻方的实例来看，制作三阶幻方及少量的四阶幻方，简直是举手之劳。在后文中我们将会看到，制作其它阶数的幻方也都是容易的。安徽芜湖王忠汉老先生常说，“只要是会做加减法的人，经过一个小时的训练，   就能学会制作多种幻方”，情况确实如此。

  1     2     3     4       16     2     3   13       16     3     2   13       16     3   13     2

 5     6     7     8        5   11   10     8         5   10   11     8         5   10     8   11

 9   10   11   12        9     7     6   12         9     6     7   12         4   15     1   14

13   14   15   16       4   14   15     1         4   15   14     1         9     6   12     7

  A   自然方阵        B   两对角线倒排      C   交换中间两列        D   再作变换

                        图 1 — 5   制作四阶幻方的一组例子

            一般说来，   当阶数 n 是大于 2 的整数时，   对于由从 1 开始的 n 2 个连续自然数组成的 n 阶幻方，   计算它的幻和的公式是：

       S  n  =n ×（ n  2  +1 ）／ 2   

（其中， n 2  读作 n 的平方，它表示将数 n 与它本身相乘所得到的结果。类似地，用 n 3   表示三个数 n 连乘，读作 n 的立方），例如：  S  4   = 4 ×（ 4  2  +1 ）／ 2 = 34 ， S  5  = 5 ×（ 5  2  +1 ）／ 2 = 65 ， S  6  = 6 ×（ 6  2  +1 ）／ 2 = 111 ， S 8  = 8 ×（ 8  2  +1 ）／ 2 = 260 ， S 10  = 10 ×（ 10  2  +1 ）／ 2 = 505 。这个公式请读者记住。  

                       1     2     3             9     2     7             4     9     2      

                       4     5     6             4     5     6             3     5     7                    

                       7     8     9             3     8     1             8     1     6                    

                             A              B  对角对调       C   各数旋转

                             图 1 — 4   三阶幻方制作过程图        

         图 1 — 4A 称为 三阶 自然方阵 （它是将从数 1 起的九个连续自然数按从小到大的顺序依次填写而得到的）， 人们常常以自然方阵为 初始方阵 制作幻方。例如可以用“ 对角对调，各数旋转 ” 的方法制作三阶幻方，具体的说是：

       1 、将图 1 — 4A 的两组对角的数对调   （例如数 1 与 9 对调），得到图 1 — 4B 。 2 、将图 1 — 4B 的各个数顺时针方向旋转 45 度（中心数 5 也可以说是旋转了），就得到图 1 — 4C 所示的三阶幻方。  

           这里再介绍四阶幻方的一些制作方法。图 1 — 5A 是四阶自然方阵（它与三阶方阵的排列规律完全相同），将它的两条对角线上的各个数倒排，就得到图 1 — 5B 这个四阶幻方。如果将图 1 — 5B 的中间两列对调，又得到图 1 — 5C 这个四阶幻方。如果将图 1 — 5C 最后两列左右翻折得到一个新的四阶方阵（此过程图从略，请读者自己制作），再将新方阵最后两行上下翻折，所得到的图 1 — 5D 也是一个四阶幻方。这里我们以图 1 — 5A 为初始方阵，连续制作了三个四阶幻方。   制作这 3 个幻方的方法都是很简单的。

        从以上制作幻方的实例来看，制作三阶幻方及少量的四阶幻方，简直是举手之劳。在后文中我们将会看到，制作其它阶数的幻方也都是容易的。安徽芜湖王忠汉老先生常说，“只要是会做加减法的人，经过一个小时的训练，   就能学会制作多种幻方”，情况确实如此。

  1     2     3     4       16     2     3   13       16     3     2   13       16     3   13     2

 5     6     7     8        5   11   10     8         5   10   11     8         5   10     8   11

 9   10   11   12        9     7     6   12         9     6     7   12         4   15     1   14

13   14   15   16       4   14   15     1         4   15   14     1         9     6   12     7

  A   自然方阵        B   两对角线倒排      C   交换中间两列        D   再作变换

                        图 1 — 5   制作四阶幻方的一组例子

            一般说来，   当阶数 n 是大于 2 的整数时，   对于由从 1 开始的 n 2 个连续自然数组成的 n 阶幻方，   计算它的幻和的公式是：

       S  n  =n ×（ n  2  +1 ）／ 2   

（其中， n 2  读作 n 的平方，它表示将数 n 与它本身相乘所得到的结果。类似地，用 n 3   表示三个数 n 连乘，读作 n 的立方），例如：  S  4   = 4 ×（ 4  2  +1 ）／ 2 = 34 ， S  5  = 5 ×（ 5  2  +1 ）／ 2 = 65 ， S  6  = 6 ×（ 6  2  +1 ）／ 2 = 111 ， S 8  = 8 ×（ 8  2  +1 ）／ 2 = 260 ， S 10  = 10 ×（ 10  2  +1 ）／ 2 = 505 。这个公式请读者记住。  

　　幻方是相当古老的数学问题，中国的《洛书》中记载了最早的幻方（如图）——九宫图。其中所有的奇数——阳，代表天；所有的偶数——阴，代表地。